Marie-eve Modolo

Histoire De La Normalisation D'une Famille De Courbes Algébriques: Cab-courbes: Aspects Algorithmiques, Combinatoires et Géométriques Marie-eve Modolo French edition

L'idée directrice de cette thèse est d'expliciter un résultat de génération quadratique de l'idéal du plongement canonique d'une famille de courbes fournie par deux entiers a,b <= 3 premiers entre eux (les Cab-courbes). Le travail réalisé comprend d'une part l'étude de la détermination explicite de l'idéal canonique de la courbe considérée (noté I) et d'autre part, le calcul d'un idéal torique homogène Q (contenu dans I). Tout cela est rendu concret, grâce à un algorithme efficace, permettant de déterminer I et Q. Le calcul de l'idéal torique homogène Q contribue fondamentalement au calcul de I. Notre approche réside dans le fait d'avoir étudié l'idéal canonique I par l'intermédiaire du polytope entier de dimension 2, enveloppe convexe de l'ensemble: {(i,j)in N^2 | ai+bj <= 2g-2} où g désigne le genre de la courbe. Ce polytope permet la détermination d'une base de Groebner quadratique de Q; son intérieur, le calcul d'un système de générateurs de I/Q. Cette approche se veut effective et les résultats les plus importants sont accompagnés d'une implémentation en magma.